Международная Жаутыковская Олимпиада

Задачи 1 МЖО 2005

 

Скачать все задачи 1 МЖО 2005 ()

I Международная Жаутыковская олимпиада по математике Алматы, 2005,
юниоры

№ 1. В прямоугольной таблице 99 (см. ниже) отмечены 40 клеток. Горизонтальный или вертикальный ряд из 9 клеток называется хорошим, если в нем отмеченных клеток больше, чем не отмеченных. Какое наибольшее суммарное количество хороших (горизонтальных и вертикальных) рядов может иметь данная таблица?

№ 2. Даны целые числа  такие, что . Тогда докажите, что число  является полным квадратом тогда и только тогда, когда .

№ 3. На плоскости дано множество  из  точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что для любых двух различных точек  существует прямая, разбивающая  на два подмножества по  элементов и такая, что  лежат по разные стороны от этой прямой.

 № 4. Для любых положительных действительных чисел a, b, c докажите неравенство

.

 № 5. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке D, а точка M – середина этой стороны. Докажите, что точка M, центр вписанной окружности и середина отрезка CD лежат на одной прямой.

 № 6. Найдите все простые числа , не превосходящие 2005 и такие, что  делится на , а  делится на .

 

Физика, теоретический тур, старшая группа

№ 1. Из какого места и под каким углом к горизонту необходимо бросать камень, чтобы он при наименьшей начальной скорости, приведенной на рис.1, мог перелететь через преграду, не коснувшись ее. Размеры преграды: h=4 м, H=7 м, l=5 м. Считайте, что камень бросается с поверхности земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.

№2. Определите работу А, которую совершает идеальный газ в замкнутом цикле 1 – 4 – 3 – 2 – 1, изображенном на Рис.2, если р1=105 Па, ро=3·105 Па, р2=4·105 Па, V2 – V1 = 10 л .

 

№3. В схеме, приведенной на Рис.3, при разомкнутом ключе К конденсатор заряжен до некоторого напряжения Uо. Ключ замыкают, и через какое-то время ток в цепи прекращается. Какова должна быть величина Uо, чтобы напряжение на конденсаторе установилось равным 1 В при изменившейся полярности пластин, если ЭДС каждой батареи в цепи ?=1,5 В? Диоды считать идеальными.

№4. К жесткому невесомому стержню прикреплены два точечных тела с массами 0,5 кг и 0,7 кг на расстояниях  1 м и 0,9 м соответственно от точки подвеса. Найдите период колебаний такой системы.